Asie, juin 2024 (extrait)

On considère la fonction \(f\) , définie et deux fois dérivable sur \([0~; +\infty[\) , dont l'expression est \(f(x) = (4x - 2)\text e^{-x+1}\) .
On notera respectivement \(f'\) et \(f''\) la dérivée et la dérivée seconde de la fonction \(f\) .

1. Étude de la fonction \(\boldsymbol f\)
    a. Montrer que \(f'(x) = (-4x + 6)\text e^{-x+1}\) .
    b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction  \(f\) sur \([0~; +\infty[\) . On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0\) .
    c. Étudier la convexité de la fonction  \(f\) et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de \(f\) .

2. On considère une fonction \(F\) définie sur \([0~; +\infty[\) par  \(F(x) = (ax + b)\text e^{-x+1}\) , où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs des réels   \(a\) et \(b\) telles que la fonction \(F\) soit une primitive de la fonction  \(f\) sur \([0~; +\infty[\) .
    b. On admet que \(F(x) = (-4x - 2)\text e^{-x+1}\) est une primitive de la fonction \(f\) sur  \([0~; +\infty[\) . En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près, de l'intégrale  \(I = \displaystyle\int_{\frac32}^8 f(x)\:\text{d}x\) .

3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction \(f\)  sur l'intervalle \(\left[\dfrac32~;~ 8\right]\) . L'unité de longueur est le mètre.

    a. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ \(\text D\) .
    b. La municipalité a organisé un concours de graffitis pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ \(75\)  % de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de \(150\) mL permet de couvrir une surface de \(0{,}8\) m², déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.