Asie, juin 2024 (extrait)

On considère la fonction $f$ , définie et deux fois dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ , dont l'expression est $f(x)=(4x-2){\text{e}}^{-x+1}$ .
On notera respectivement $f^{\prime }$ et $f^{″}$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$ .

1. Étude de la fonction $\mathit{f}$
    a. Montrer que $f^{\prime }(x)=(-4x+6){\text{e}}^{-x+1}$ .
    b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction  $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ . On admet que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$ .
    c. Étudier la convexité de la fonction  $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ .

2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par  $F(x)=(ax+b){\text{e}}^{-x+1}$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs des réels   $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction  $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .
    b. On admet que $F(x)=(-4x-2){\text{e}}^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ . En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près, de l'intégrale  $I={\displaystyle {\int }_{\frac{3}{2}}^{8}f(x)\text{d}x}$ .

3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$  sur l'intervalle $[{\displaystyle \frac{3}{2}};8]$ . L'unité de longueur est le mètre.

    a. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $\text{D}$ .
    b. La municipalité a organisé un concours de graffitis pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ $75$  % de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de $150$ mL permet de couvrir une surface de $0,8$ m², déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.